La versión original de este artículo apareció en la revista Quanta.
El difunto Ronald Graham tenía dos facetas. Era un matemático de renombre y, en su momento, presidente de la Sociedad Matemática Estadounidense. También era un malabarista consumado y presidente de la Asociación Internacional de Malabaristas. «Le encantaban los trucos. Hacer girar una pelota, una ganchos, varias pelotas a la vez, lanzar bolígrafos contra la pared», cuenta Fan Chung, matemática de la UC San Diego y esposa de Graham.
A veces, Graham desempeñaba ambas funciones a la vez. «Es interesante que muchos matemáticos e informáticos tengan interés en hacer malabares. Creo que la búsqueda de patrones y estructuras es la responsable de esto», indicó en una entrevista televisiva en 1980.
Posteriormente, escribió numerosos artículos, algunos junto con Chung, sobre las matemáticas del malabarismo. Pero en 1971, décadas antes de que explicitara esa conexión, planteó una pregunta que, según algunos matemáticos, también podría haber estado inspirada en el malabarismo.
Comienza con un conjunto aleatorio de números enteros diferentes, sin incluir el cero. ¿Puedes reordenarlos de tal manera que, al sumar los dos primeros, luego los tres primeros, luego los cuatro primeros, y así sucesivamente, cada suma parcial resulte diferente? En términos de malabarismo, esto significaría que si cada bola permanece en el aire durante un tiempo distinto, siempre puedes encontrar un orden para lanzarlas de forma que dos bolas no caigan al mismo tiempo, lo que arruinaría el acto.
Si todos los números son positivos, la respuesta a la pregunta de Graham es obviamente sí: las sumas siempre aumentarán a medida que se añadan más números. Del mismo modo, si hay números positivos y negativos, la respuesta también es sí. Pero ¿qué ocurre si los números existen en un mundo finito, como los números que rodean un reloj y se repiten después de un cierto número?
Eso era lo que Graham quería saber. Pensó que la respuesta debía seguir siendo afirmativa. A menudo sucede que incluso ante restricciones rígidas, se puede encontrar la flexibilidad suficiente para construir patrones o estructuras especiales, del mismo modo que suele ser posible encontrar un tablero de sudoku o un cuadrado latino válidos (otro tipo de rompecabezas) a pesar de sus numerosas reglas. «Encaja perfectamente con todas estas preguntas sobre diseños y estructuras muy simétricas», afirmó Noga Alon, matemática de la Universidad de Princeton. Pero durante décadas, nadie pudo demostrar que la intuición de Graham fuera cierta.
Eso cambió recientemente, cuando varios jóvenes matemáticos retomaron el tema. En una demostración que abarcó cuatro artículos y diversos campos de las matemáticas, finalmente resolvieron la conjetura de reordenamiento de Graham. El artículo final, de Lisa Sauermann de la Universidad de Bonn y Huy Tuan Pham de la Universidad de Chicago, se publicó en febrero de 2026, dando por concluido el problema.
En todos los artículos, prevaleció un tema: el poder del azar para descubrir patrones. Como dijo Alon: «Es el poder de la colaboración, el poder de la generación joven, el poder de los métodos probabilísticos lo que resolvió el problema».
Según declaran investigadores del MIT, es posible que la IA se convierta pronto en el método habitual para resolver problemas teóricos en economía, física de altas energías y otros campos.
Alp Müyesser, matemático de la Universidad de Oxford, suele sentirse atraído por problemas cuyas soluciones requieren dos ingredientes: un proceso aleatorio y algo más. Tras resolver uno de estos problemas en 2022, cuando aún era estudiante de posgrado, se topó con la conjetura de Graham y se dio cuenta de que su demostración, recién terminada, también podría ser útil en ese caso.
La conjetura se plantea en el ámbito de la aritmética de relojes. Se comienza colocando los números enteros en una recta numérica y luego se extiende la recta alrededor de la esfera de un reloj de manera que los números se repitan después de un número primo, p. Digamos que p es 7, por ejemplo. En este contexto, 0, 7, 14 y todos los demás múltiplos de 7 son equivalentes, lo que significa que se pueden sumar dos números positivos (como 3 y 4) y obtener cero.
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